Т.Н. АКСЕНОВА. М.Л. ГАЛКИН, Л.С. ГЕНЕЛЬ, А.Д. ЛЕВИН, Э.Г. РОЗАНЦЕВ
ВНИИ оптико-физических измерении, 000 "Спектропласт",
Московский Государственный университет прикладной биотехнологии

1. Введение
Блеск является важной характеристикой поверхности, отражающей свет, для многих объектов как естественного, так и искусственного происхождения. Блеск поверхности обусловлен зеркальным отражением света, происходящим одновременно с рассеянным (диффузным) отражением. Количественная оценка блеска поверхности наблюдателем определяется соотношением между интенсивностями зеркально и диффузно отраженного света. Нередко, кроме количественных оценок, блеск поверхности характеризуется качественными признаками, например металлический, жемчужный, алмазный, стеклянный, шелковый и т.п. Подобные специфические виды блеска во многих случаях определяют декоративные свойства поверхностей. Это относится к поверхностям минералов, а также различных изделий искусственного происхождения (например, синтетического жемчуга, шелка, перламутровых пигментов и т. п). Специфические виды блеска часто помогают улучшить декоративные свойства различных изделий, освещаемых поверхностей зданий и сооружений, упаковочных материалов и т.п.
Физические, психофизические и психометрические основы понятия "блеск поверхности" подробно рассмотрены в докладе МКО [I]. Существуют как отечественные [2], так и международные [3, 4] стандарты по блеску поверхности, а также приборы для его контроля [5]. Методики контроля блеска поверхности, регламентированные упомянутыми стандартами, сводятся к измерению коэффициентов отражения света, падающего под различными углами. В то же время, для оценки декоративных свойств поверхностей наряду с общими количественными оценками необходимы критерии, учитывающие специфику различных видов блеска, в частности перламутрового и жемчужного. Помимо блеска, еще одной оптической характеристикой поверхности, определяющей ее декоративные свойства, является радужность, или игра цветов. Радужность часто сопровождает такой вид блеска поверхности, как перламутровый.
Эффекты перламутрового и жемчужного блеска, а также радужность обусловлены не какими-либо красящими веществами, а интерференцией в поверхностной области соответствующих объектов. Эта поверхностная область состоит из тонких прозрачных слоев, которые отличаются друг от друга значениями показателя преломления. Современные технологии позволяют создавать достаточно сложные многослойные структуры из самых различных материалов. Поэтому приобретает актуальность задача компьютерного моделирования слоистых структур с оптическими характеристиками поверхности, дающими желаемый декоративный эффект. Авторами данной работы была предпринята попытка построения соответствующей модели и ее применения к слоистым структурам на основе прозрачных полимеров. Такие структуры могут быть использованы для создания различных изделий, поверхности которых обладают специфическими названными выше видами блеска.

2. Модель для расчета отражательной способности поверхностей слоистых структур
Для оценки перламутрового и жемчужного блеска представляет интерес распределение интенсивности излучения, отраженного от этой поверхности, по углам и длинам волн. Если считать, что выполняется закон зеркального отражения (т.е. не учитывать диффузную составляющую), и принять, что поверхность освещена источником света, яркость которого не зависит от угла, то в качестве такого распределения можно использовать произведение коэффициента отражения R(l,q) на относительную спектральную яркость источника L(l). Здесь l - длина волны, q -угол падения излучения на поверхность слоистой системы. Кроме того, для учета спектральной чувствительности глаза, необходимо ввести в качестве сомножителя функцию V(l) (см. например, [6]).

Рис. 1. Относительная эффективность отраженного излучения для структуры, состоящей из 14 слоев арагонита (п = 1,53) толщиной 0,3мм, разделенных воздушными промежутками толщиной 0,5 мм:
1 - 450 нм; 2-480 нм- 3 - 500 нм; 4- 550 нм- 5- 600 нм; 6- 650 нм

В соответствии с изложенным, для оценки зрительного восприятия отраженного излучения рассчитывалась функция

(1)

Iэфф (l,q) мы будем называть относительной эффективностью отраженного излучения. При расчете этой функции основные сложности связаны с вычислением R(l,q). К настоящему времени предложено несколько методов расчета оптических свойств многослойных покрытий, подробное изложение которых можно найти в ряде монографий [7-12].
В монографии [7] приводится решение задачи для частного случая периодической слоистой структуры, состоящей из чередующихся однородных диэлектрических слоев с показателями преломления п2 и п3 и толщинами h2 и h3 . При изготовлении слоистых структур на основе прозрачных полимеров часто получаются системы, у которых толщина слоев зависит от глубины их расположения (т.е толщина внутренних и внешних слоев различна).
Для построения модели, позволяющей описывать оптические свойства слоистой структуры с произвольной последовательностью слоев, можно обратиться к изложенному в работе [12] методу последовательного наращивания слоев (ПНС).
В схеме ПНС, использованной в работе [12], расчет оптических характеристик слоистой структуры выполняется "снизу вверх" (т.е. сначала рассматривается процесс прохождения света в самом нижнем, граничащем с подложкой слое, затем в вышележащем и т.д.). Последовательное наращивание слоев можно производить и в обратном порядке, т.е. начинать от верхнего (граничащего с воздухом) слоя, а затем последовательно двигаться вниз, к подложке. Такой подход реализован в работе [7] для периодических слоистых структур. Мы использовали тот же подход (наращивание слоев сверху вниз), распространив его на случай непериодических структур.
При построении и реализации расчетной модели было использовано понятие характеристической матрицы слоистой среды (иногда ее называют интерференционной матрицей). Эта матрица является результатом решения уравнений Максвелла, описывающих распространение электромагнитной волны в слоистой среде.

Рис. 2. Зависимость коэффициента отражения от числа слоев в структурах арагонит - воздух (1) и поликарбонат - ПММА (2)

Согласно [7], для того, чтобы узнать, как распространяется плоская монохроматическая волна через слоистую среду, последнюю необходимо охарактеризовать соответствующей 2х2 матрицей. Выберем систему прямоугольных координат таким образом, чтобы ось Z была направлена по нормали к границам раздела между слоями, а плоскость Z = 0 соответствовала границе раздела между верхним слоем и воздухом. В этом случае характеристическая матрица связывает Х и Y компоненты электрического вектора электромагнитной волны на плоскости Z = 0 с этими компонентами на произвольной плоскости Z = const. В [7] показано, что характеристическая матрица слоистой системы является произведением характеристических матриц слоев, из которых эта система состоит.
Введем следующие обозначения
0- угол падения излучения на слоистую структуру,
n0 -показатель преломления воздуха,
qk - угол между осью Z и направлением распространения луча в k-ом слое,
nk - показатель преломления материала k-го слоя,
hk, - толщина k-то слоя,
qL - угол преломления светового луча, вошедшего в подложку,
nL - показатель преломления материала подложки,
l - длина волны.

Согласно [7], характеристическая матрица k-го слоя имеет вид

(2)

(3)

Характеристическая матрица М слоистой системы из N слоев может быть вычислена путем перемножения матриц всех слоев, составляющих эту систему.

(4)

Коэффициент отражения света слоистой структурой может быть выражен через элементы матрицы М.

(5)

где

Для нахождения углов qk достаточно рассмотреть преломление света на границе между k -1 и k слоями. Согласно закону преломления света

(6)

Если на границе двух слоев оказывается, что

то происходит полное внутреннее отражение.
В частном случае, для границы раздела между воздухом и первым слоем, формула (6) примет вид

Угол q0 - это, как указывалось выше, угол падения излучения на слоистую структуру. Все остальные углы qk могут быть вычислены по формулам (8-9).
Характеристическая матрица структуры, состоящей всего из одного слоя, определяется формулой (2). Последовательное наращивание слоев заключается в том, что характеристическая матрица MN структуры из N слоев вычисляется путем умножения матрицы MN-1 (для структуры из N -1 слоя ) на матрицу MN, (матрица слоя, который наращивается).

Таким образом, можно вычислить характеристическую матрицу (а значит и коэффициент отражения) для структуры, состоящей из любого числа слоев; при этом слои могут быть разными, для справедливости модели требуется только, чтобы внутри слоя показатель преломления был бы постоянным. Чтобы учитывать поглощение света, необходимо в уравнения (2-7) вместо п подставить комплексный показатель преломления

(8)

Как известно (см. например [7]), мнимая часть n связана с коэффициентом поглощения k соотношением

(9)

Формулы (1-9) достаточны для составления компьютерной программы, позволяющей осуществлять расчет оптических свойств структур, состоящих из произвольной комбинации плоских однородных слоев.
При оценке входящей в формулу (1) относительной спектральной яркости источника L(l) предполагалось, что спектральный состав излучения соответствует черному телу с Т.
На основе приведенных в этом разделе соотношений была составлена программа табличных вычислений функции Iэфф (l,q) на базе Excel. Эта программа позволяет производить расчеты коэффициентов отражения и относительной эффективности отраженного излучения для слоистых структур, содержащих до 40 плоских слоев. Для каждого слоя должны быть заданы толщина, показатель преломления и коэффициент поглощения; последовательность слоев может быть произвольной.
3. Результаты расчета для модельных структур
С помощью расчетной модели и компьютерной программы, описанных в разделе 2, были проведены расчеты зависимостей Iэфф (l,q) для нескольких слоистых структур с учетом спектрального состава источника излучения и относительной спектральной чувствительности глаза.
Были рассмотрены, в частности, структуры, моделирующие природный перламутр. Он состоит, как известно, из тонких кристаллических слоев СаСОз (в модификациях арагонита и кальцита), разделенных воздушными промежутками. Толщина слоев, по данным [14-15], составляет десятые доли миллиметра. Результаты расчета зависимостей Iэфф (q) при нескольких значениях длины волны l для одной из структур арагонит-воздух представлены на рис. 1. Видно, что на этих зависимостях имеются максимумы, которые расположены в интервале углов от 25° до 50° и последовательно приходятся на оранжевый (600 нм), зеленый (550 нм), голубой (500 нм) и синий (480 нм) цвета. Таким образом, если наблюдать такую слоистую структуру, меняя угол зрения, то возникнет ощущение "перелива цветов" (важнейшая составляющая перламутрового эффекта).
Интересно проследить, как меняются пики в зависимости от числа слоев. Наиболее выраженный максимум на зависимости Iэфф. (l,q) имеет место при угле, близком к 30° и длине волны 550 нм. Для этого пика была вычислена зависимость Iэфф. от числа слоев N. Результаты приведены на рис. 2. Видно, что уже при N > 8 зависимость Iэфф. (q) выходит на насыщение. Следует отметить, что в этих расчетах не учитывалось поглощение света в пластинах арагонита, при учете такого поглощения выход на насыщение мог бы получиться при еще меньшем значении N.

Рис. 3. Относительная эффективность отраженного излучения для слоистой структуры на основе прозрачных полимеров; чередуются слои поликарбоната (п = 1,59) толщиной 0,1 мкм и полиметилметакрилата (п = 1,485) толщиной 0,3 мкм; всего 20 слоев 1 - 450 нм; 2 - 480 нм; 3 - 500 нм; 4 - 550 нм; 5 - 600 нм; 6 - 650 нм

Особое внимание было уделено моделированию структур на основе прозрачных полимеров. Расчеты проводились для структур, в которых чередовались слои полимеров с более высоким и более низким показателями преломления п, причем к внешней поверхности примыкал слой с более высоким значением п. Рассматривались структуры двух типов - поликарбонат- полиметилметакрилат (ПММА) и полистирол-полипропилен. На рис. 3 приведены зависимости Iэфф. (q) при различных длинах волн для одной из структур поликарбонат - ПММА. Данные об оптических свойствах этих полимеров (показателях преломления и коэффициентах поглощения) были взяты из работы [16]. На полученных в результате расчета кривых видны заметные максимумы при углах 40° (l=550 нм) и 60° (l=500 нм). По сравнению со структурой арагонит-воздух (моделирующей естественный перламутр), максимумов меньше, и они выражены слабее.
Для самого выраженного максимума (l=550 нм, q=40°) была рассчитана зависимость Iэфф. (q). Результаты также представлены на рис. 2. Видно, что для слоистой структуры на основе прозрачных полимеров эта зависимость выходит на насыщение при значительно большем значении N, чем для системы арагонит-воздух. По-видимому, выход этой зависимости на насыщение выражен тем сильнее, чем больше различие в показателях преломления чередующихся слоев.
Были проведены также расчеты для структур на основе прозрачных полимеров, у которых к поверхности примыкает слой с меньшим значением показателя преломления. Для таких структур максимумы на зависимостях Iэфф. (q) оказались выраженными в существенно меньшей степени.
4. Заключение
Модель, развитая в данной работе, позволяет осуществлять подбор параметров слоистых структур, воспроизводящих перламутровый блеск, с учетом возможностей их получения в реальных технологических процессах. Если материалы слоев заданы из технологических соображений, появляется возможность, используя модель, оптимизировать толщины слоев и их число, в зависимости от желаемых оптических характеристик отраженного излучения
Однако критерии такой оптимизации пока остаются достаточно субъективными, поскольку отсутствуют обобщающие показатели, позволяющие количественно характеризовать перламутровый и жемчужный блеск, а также радужность. По нашему мнению, такие показатели были бы полезны как для моделирования и последующего изготовления изделий с заданными видами блеска поверхности и степенью радужности, так и для сравнительной оценки декоративных свойств различных объектов как природного, так и искусственного происхождения. Для выработки и обоснования этих показателей необходимо сопоставление экспериментальных данных по угловой зависимости интенсивности отраженного излучения на различных длинах волн для реальных объектов с экспериментальными и экспертными оценками их декоративных свойств. Нами предполагается проведение таких работ и публикация их результатов.
Авторы признательны Р.И.Столяревской и В.К.Вертушкину за обсуждение статьи и ценные советы.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. CIE Journal, 1986,уо1.5,№2,р.р.41-56.
2. Материалы лакокрасочные, Фотоэлектрический метод измерения блеска, ГОСТ 869-69.
3. Стандарт ISO 2813-1978 Е Измерение зеркального блеска неметаллических пленок краски при 20°, 60° и 85°.
4. Стандарт ASTM D 523-78 Стандартный метод измерения зеркального блеска.
5. Вертушкин В. К. Установка высшей точности для измерения единиц блеска. Светотехника. 1993. № 3.
6. Мешков В. В. Основы светотехники, ч. 1, М., "Энергия". 1979.
7. Борн М, Вольф Д. Основы оптики. М., 1973.719с.
8. Крылова Т.Н. Интерференционные покрытия, Л., 1973, 224 с.
9. Основы эллипсометрии, под ред. А.В. Ржанова, Новосибирск, 1979, 506с.
10. Телеи А. Физика тонких пленок. Под ред. Г. Хасса, Р.Э. Туна. Т. 5 М., 1972. с. 46.
11. Горшков М.М. Эллипсометрия. М., 1974.200 с.
12. Бондарь Е.А., Шадрина Л.П. Разработка метода компьютерного конструирования многослойных энергетически эффективных покрытий для оконных стекол. Препринт ОИВТ РАН № 8 - 445 М. 2000. 21с.
13. Гусев Н. М. Основы строительной физики. М., Стройиздат. 1975.
14. Сердобольский Б. И. Жемчуг. М., "Наука". 1985. 136с.
15. Фарп А. Жемчуг натуральный, культивируемый и имитации. М. "Мир". 192 с.
16. Сперанская Т.А., Тарутина Л. И. Оптические свойства полимеров. Л. "Химия". 1976.